On considère un tube en U de section cylindrique S dont la partie droite est remplie d’eau sur une hauteur H (prise à partir de la base du U). On place un flotteur de section S et de hauteur h à la hauteur H en haut du tube de gauche.

 

On peut montrer (voir annexe) que l’énergie potentielle du système (eau+flotteur) est égale à MgH/2 + mgH , où M est la masse de l’eau emprisonnée (hors partie en U) et m la masse du flotteur.

 

Sans perte de généralité, on dit que la densité du flotteur est la même que celle du liquide. En réalité ce n’est pas vrai, mais il suffit de lui soustraire une quantité infiniment petite e pour que l’objet soit un flotteur. L’énergie du système est donc

 

(1)     E = rSgH²/2 + rSghH .

 

Le flotteur tombe, en libérant l’énergie mgH = rSghH. On ouvre alors la valve V1 (on dira que cela se fait sans énergie) ; le flotteur ayant quasiment la même densité que le liquide, on comprend qu’il faut dépenser une énergie infinitésimale pour le faire couler et le faire passer dans le tube de droite. Cependant le flotteur aura été remplacé par le même volume d’eau (Archimède oblige…). On ferme alors V1 et on ouvre V2 : le flotteur monte jusqu’en V3. On ferme V2 et on ouvre V3 : le flotteur monte aussi haut qu’il le peut. Dans la réalité, sa face supérieure se confond avec l’ancien niveau de l’eau.

Considérant alors qu’il faut une énergie infinitésimale pour le faire passer dans le premier tube et le faire tomber, on s’aperçoit que le niveau de l’eau dans le tube de droite a baissé d’une hauteur h (toujours Archimède !). On ferme V3 et on recommence. Le résultat de l’ensemble des opérations est que le niveau de liquide a un peu monté (d’une valeur h) dans le réservoir de gauche, et un peu descendu de la même valeur dans celui de droite.

 

Finalement, si H est la hauteur initiale d’où tombe le flotteur, au prochain coup sa hauteur de chute passe à H-2h, puis à H-4h et ainsi de suite jusqu’à ce que les niveaux de liquide dans les deux tubes soient les mêmes. Appelons n ce niveau, alors il vérifie

 

(2)       H-2(n-1)h  = 0 ou très peu différent.

 

Si on fait la somme L des hauteurs de chute successives, on trouve

 

(3)       L = nH –n(n-1)h ,

 

Avec, en tirant n de (2) :

 

(4)       en partie entière.

 

Finalement, l’énergie qu’on peut tirer de ce dispositif est a priori E = rshgL ce qui fournit tout calcul fait en tenant compte de (2) et de (3):

 

(5)      

 

On remarque que E est plus petit que l’énergie initiale fournie par (1). Cependant, l’énergie potentielle du système arrivé à ce stade n’est pas nulle : il reste les colonnes de liquide dans les tubes gauche et droite, de hauteurs H/2, ainsi que le flotteur, positionné également à H/2.

 

L’énergie potentielle finale restante vaut donc :

 

(6)      

 

Quand on fait la somme E + EFinal on retrouve l’énergie initiale donnée par (1).

 

C.Q.F.D.

 

ANNEXE : énergie potentielle d’un réservoir de liquide

 

Le travail qu’il faut fournir pour faire pénétrer un volume de liquide dv dans un réservoir prismatique de base S est égal à l’énergie qu’il faut fournir pour surélever le niveau de liquide qui s’y trouve déjà d’un volume dv afin d’y injecter ce petit volume supplémentaire.

 

Si p est la pression à la base du réservoir, alors dW = p dv et le travail est égal à :

 

(A1)    

 

Sachant que p = r g h, on écrit dv = S dh où S est la section de fluide à la base.

 

D’où il vient :

 

(A2)    

 

Où m = r S H est la masse totale du fluide dans le réservoir.